CS × 数学技能树

把计算机专业要学的东西，做成一棵能一步步点亮的技能树。
每条“必须先学”的连线，都附课程证据与入门需要的理由。

在线打开 · 下载离线包 · 看宣传片（B 站） · 怎么读这张图 · 数据从哪来

An interactive skill tree for a computer-science degree and the math behind it: 192 learning units in 13 areas, with prerequisite explanations backed by university courses and teaching order. Each skill has chapter-level English and Chinese learning routes (192 complete English routes, 189 complete Chinese routes; 3 Chinese topics explicitly require English supplementation), one worked exercise, and a knowledge map built from an authoritative textbook's or course's table of contents. A static page that works offline. The interface is in Chinese; every skill also has its English name.

预览

领域总览：13 个领域按依赖排成列，线越粗、跨领域的必须前置越多	技能地图：选中“操作系统”，高亮它的整条前置链和直接解锁的技能
设为目标：把“深度学习”设为目标，左栏排出按顺序编号的学习清单	知识导览图：按教材目录画出“极限与连续”的知识点，右栏是来源和查漏补缺

每个知识点分别列出中文、英文章节；先看学习顺序，再展开逐项核对。

有什么

技能	192 个，分 13 个领域（数学拆成三条泳道），按最长的必须前置链排成 7 步
范围	121 个主干、71 个选修：对照 ACM/IEEE-CS/AAAI 的课程标准 CS2023，逐个技能看内容是否属于它的核心主题（判定依据）
前置关系	260 条必须前置（没点亮就不能点亮下一个），400 条推荐前置（只提示，不挡路）
前置依据	192/192 个技能有课程依据；整理 386 条课程资料，先修表中 0 个“前置待核实”。同课顺序和先修链另附原始链接与适用边界
学习路线	192/192 个技能、891 个必学知识项逐项对应章节；英文 192 条、中文 189 条路线覆盖全部必学项，另 3 个中文知识项明确列英文补读（复核报告）
免费学习	英文 192 条、中文 152 条路线的全部必学项已有免费教学；费用与回放待核、付费补读分别列明
练习题	每个技能 1 道，答案折叠，答案已验算
知识导览图	每个技能 1 张：1,833 个分支、8,411 个知识点；10,291 条标题逐条与来源核对

其他：

• 纯静态页面，不需要构建、不需要联网（只有打开学习资源链接时才联网）。
• 进度存在浏览器里，可以导出 / 导入 JSON。技能合并后采用保守复核：只完成其中一部分，不自动当成掌握合并后的全部内容；旧记录随导出保留。
• 每个视图都有自己的地址，可以收藏或分享：#overview 是总览，#map/<领域> 是领域地图，#skill/<id> 是技能详情，#skill/<id>/guide 是知识导览图。
• 支持纯键盘操作，手机上总览变成可滑动的列表。按 WCAG 2.2 AA 做过无障碍审计（结论）。

打开

• 在线：https://zeroa234.github.io/cs-math-skill-tree/
• 离线：从 Releases 下载 zip，解压后双击 index.html
• 从源码：克隆仓库后双击 src/web/index.html

怎么读这张图

• 领域总览（首页）：每块是一个领域，块里的小方块是它的技能，和技能地图一样按步骤从左到右排列。连线表示右边领域的技能用到了左边领域的必须前置，线越粗，条数越多。第 1 列可以直接开始。每块上写着进度、状态、“下一步”（这个领域现在最值得学的技能）或“先学：…”。点一块进入它的技能地图。
• 技能地图：每条横向泳道是一个领域。横轴“第 N 步”的意思是：前面最长有 N−1 层必须前置。第 1 步的技能没有必须前置，是起点。
• 卡片状态：已点亮（暖色 + ✓）、现在能学（蓝框 + ⊕）、未解锁（灰 + 锁）。颜色之外都有图标，色弱也能分辨。虚线框是选修：内容不在 CS2023 的核心主题里，详情面板写明理由。
• 选中一个技能：高亮它的整条必须前置链（实线）、推荐前置（虚线）和它直接解锁的技能（绿线）。用到其他领域前置的卡片，左上角有那个领域颜色的彩点。
• 左栏：“现在能学”按“学完能解锁多少后续技能”排序。选一条路线或“设为目标”后，左栏给出按顺序编号的学习清单。
• 详情面板：划分依据与相邻技能边界、必须 / 推荐前置及理由、学什么、知识导览、去哪学（中英文独立学习顺序、逐知识点章节、费用与访问条件）、练习题，以及前置依据（课程官方先修原文）。
• 知识导览图：双击技能卡（或选中后按 G）。中心是技能，分支是来源的章（或讲），叶子是节。标“补·B”的橙色分支来自补充来源，补的是主来源没讲到的知识点。标题可以切换中文 / 双语 / 原文。右栏“查漏补缺”列出技能简介里的每个知识点落在哪一章，点一下就在图上定位。

数据从哪来

起点是一张 ChatGPT 生成的“计算机科学与数学知识星图”（原文件只读保存在 data/source/chatgpt-outputs/）：259 个节点、317 条关系（228 条前置、89 条相关），但前置不分必须和推荐，也没有给出依据。最初取其中 201 个技能，再对照 ACM/IEEE-CS/AAAI 的课程标准 CS2023 检查划分：拆得过细的合并、几个不相干领域拼成的收窄或删除、缺的游戏开发补上，现为 192 个（改了什么、为什么改见 技能划分检查）。前置关系按真实课程的先修要求重新判定，学习资源、练习题和导览图都是重新找证据做的。检索和整理借助了 AI 代理，结论都附可以打开核对的原始链接。

必须 / 推荐前置怎么判定

• 必须前置：至少一门真实大学课程把它列为先修（或在同一门课里先讲它），并且不会它就学不懂本技能入门层的内容。
• 推荐前置：课程写成“建议 / 有帮助”、只有部分课程要求、只是数学成熟度门槛，或者只在深入层才用到。
• 原有 9 个待核实项已处理：7 个补到官方课程证据；P.5.4、C.4.4 分别并入 DevOps 与数据工程的入门内容。不能只把推荐背景改标成必须；核对脚本会拒绝没有完整依据的连线。

中英文学习路线怎么核对

每种语言各自按“免费教学正文 → 作者或学校公开视频 → 正版付费教材/课程”查找，并把技能简介里的必学知识项对到具体章节。Python 官方文档等查阅材料和入门教程分开；主课讲不到的内容在同语言路线中补充。

“覆盖”包含已核目录的付费教材，不表示全免费或逐页通读。免费教学已覆盖英文 192 条、中文 152 条路线的全部必学项；当前仍有 6 个中文知识项暂用付费材料补读，另 87 个中文知识项的费用或回放条件待核。视频字幕、注册限制、机器翻译和第三方转载均按来源说明。中文仍有 3 项未补齐：F.1.6 的细粒度复杂度界与归约、F.3.4 的程序精化、S.5.1 的非干扰，页面给出英文补读。详见复核报告。

技能大小怎么判定

课程、基础模块、进阶模块与教材单元分开标注。全部 192 个技能都记录了划分依据；相邻技能有内容重叠时写出边界。它们不代表相同学分或学习时长，不能按目录标题数比较份量。详见逐技能判定。

主干 / 选修怎么判定

• 依据是 CS2023 的知识体系：它把每个主题分成 CS Core（每个计算机专业毕业生都必须掌握）、KA Core（建议深入学习）和 Non-core（选修）。
• 技能简介里至少一半的知识点能在 CS Core 或 KA Core 主题里找到原文，就算主干；讲授 CS Core 主题的技能、主干技能的必须前置，也算主干。其余是选修。
• 每条判定都记了 CS2023 的知识单元、层级和原文片段，由 scripts/check_scope.py 逐条核对。这套 50% 阈值是项目自己的规则，并非 CS2023 对这些技能的官方认证；阈值敏感性和局限见判定报告。

知识导览图怎么来

• 每个技能 1 个主来源：优先用“去哪学”里那份材料本身（它有成体系的目录时），否则用标准教材（作者主页、出版社或开放教材官网上的目录），或一流大学课程官方的逐讲课表。
• 只用作者或出版社官方公开的整书 PDF，课程网站、网盘、镜像站上的商业教材 PDF 不用。
• 标题照原文抄，再配中文译名。scripts/check_outlines.py 把每条标题和实际抓到的来源页面文字逐条比对：10,280 条在标准化匹配中精确命中，11 条因 PDF 抽字差异（如 σ 被抽成 s）判为近似，没有缺失。
• 已知缺口：A.2.3.2、C.3.3、S.2.1 的来源只有讲次一层；有 12 个覆盖项（包括定位与验收说明）在来源里没有专门章节，导览图右栏标“—”并写明原因。

本轮的粒度、资源变更和限制见 划分检查与处理；最初 201 个技能的历史适用性审核见 来源审核报告，中文资源的增补依据见 中文资源报告。

数据文件

想拿数据做别的东西，直接用构建好的两个 JSON：

文件	内容
output/skilltree.json	全部技能：名称（中 / 英）、领域、步骤、主干 / 选修及理由、必须 / 推荐前置及理由、课程先修原文、学习资源、练习题
output/outlines.json	全部知识导览图：来源、目录（章 → 节）、查漏补缺

它们由 data/ 下的源数据合并而来，各目录的作用和数据流见 维护说明。

从源码构建

npm install
node scripts/build.mjs              # 重新生成 src/web/data.js、outlines.js 和 output/*.json；前置有环、ID 写错、卡片重叠、导览图来源对不上都会直接报错
node scripts/check-learning-paths.mjs --require-all  # 全树路线完整性与缺口说明
node tests/screenshot.mjs           # 用系统自带的 Edge 无头截图检查页面（playwright-core，不下载浏览器）
node tests/a11y.mjs                 # axe-core 按 WCAG 2.2 AA 审计 15 个界面状态
python -X utf8 scripts/package_web.py   # 打包离线 zip

不要直接改生成的 src/web/data.js。全部脚本、学习资源的维护规则和检索流程见 维护说明。

宣传片

在哔哩哔哩观看：大肥鱼把计算机专业内容做成了技能树（约 2 分钟）。用 Remotion 和 Blender 做成，画面里的数字和树的形状都从数据算出来，做法见 docs/promo-video.md。片中的数字（201 个技能、278 条必须前置）是重新划分技能之前的版本，以上面“有什么”里的数字为准。

用到的开源组件

• elkjs 0.12.1（EPL-2.0，只在构建时运行）：技能地图和领域总览的分层布局
• @panzoom/panzoom 4.6.2（MIT）：平移缩放
• markmap-view 0.18.12（MIT）+ d3 7.9.0（ISC）：知识导览图，第一次打开导览图时才加载
• axe-core（MPL-2.0，开发依赖）：无障碍审计
• pypdf（BSD）：抽取 PDF 目录文字

页面用到的三个库放在 src/web/vendor/，各自的许可证和库文件放在同一个目录。

许可

• 代码和本仓库整理的数据：MIT。
• src/web/vendor/ 里的第三方库沿用各自的许可证。
• 课程先修原文、教材和课程目录的标题引自各自的来源，只用于引用和核对，版权归原作者；每条都附原始链接。